В геометрии прямоугольника существует важная зависимость между сторонами фигуры и ее диагоналями. Сумма квадратов диагоналей прямоугольника связана с длинами его сторон определенным математическим соотношением.
Содержание
Основная теорема
Для любого прямоугольника сумма квадратов длин его диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон:
d₁² + d₂² = 2(a² + b²)
| Обозначение | Описание |
| d₁, d₂ | Длины диагоналей прямоугольника |
| a, b | Длины сторон прямоугольника |
Доказательство свойства
Способ 1: Через теорему Пифагора
- Каждая диагональ делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника
- По теореме Пифагора: d₁² = a² + b²
- Так как диагонали равны: d₂² = a² + b²
- Следовательно: d₁² + d₂² = 2(a² + b²)
Способ 2: Векторный метод
- Пусть стороны прямоугольника заданы векторами a и b
- Диагонали: d₁ = a + b, d₂ = a - b
- Квадраты диагоналей: |d₁|² = |a|² + |b|² + 2ab, |d₂|² = |a|² + |b|² - 2ab
- Сумма: |d₁|² + |d₂|² = 2(|a|² + |b|²)
Следствия из теоремы
| Следствие | Объяснение |
| Для квадрата | d₁² + d₂² = 4a², так как d₁ = d₂ = a√2 |
| Равенство диагоналей | В прямоугольнике диагонали всегда равны: d₁ = d₂ |
| Связь с периметром | Можно выразить через полупериметр: P = 2(a + b) |
Практическое применение
Данное свойство используется в различных областях:
- В строительстве для проверки правильности прямоугольных конструкций
- В компьютерной графике при обработке изображений
- В геодезии при разметке земельных участков
- В машиностроении при проектировании деталей
Пример расчета
Для прямоугольника со сторонами 3 см и 4 см:
- Вычисляем квадраты сторон: 3² = 9, 4² = 16
- Сумма квадратов сторон: 9 + 16 = 25
- Умножаем на 2: 2 × 25 = 50
- Проверяем через диагонали:
- Диагональ по теореме Пифагора: √(3² + 4²) = 5 см
- Квадраты диагоналей: 5² = 25
- Сумма: 25 + 25 = 50
Обобщение для параллелограмма
Для произвольного параллелограмма действует аналогичное соотношение:
d₁² + d₂² = 2(a² + b²)
где a и b - длины смежных сторон, d₁ и d₂ - длины диагоналей.
Заключение
Свойство суммы квадратов диагоналей прямоугольника представляет собой важное геометрическое соотношение, связывающее линейные характеристики фигуры. Это соотношение находит практическое применение в различных инженерных и технических расчетах, а также является фундаментальным свойством евклидовой геометрии.
